Question

當p₁，p₂，…，p_n均為正數時，稱

n

p1+p2+…+pn

為p₁，p₂，…，p_n的“均倒數”、已知數列{a_n}的各項均為正數，且其前n項的“均倒數”為

1

2n+1

，
（Ⅰ）試求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=

an

2n+1

，試判斷并說明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（Ⅲ）已知bn=tan(t＞0)，記數列{b_n}的前n項和為S_n，試求

Sn+1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用條件求得a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）和a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1），兩式作差就可求出數列{a_n}的通項公式（注意檢驗n=1是否成立）；     
（Ⅱ）利用 （Ⅰ）求得的數列{a_n}的通項公式代入即可求出c_n+1-c_n再利用函數的單調性就可判斷出c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（Ⅲ）利用 （Ⅰ）求得的數列{a_n}的通項公式代入即可求出數列{b_n}的通項公式，再對等比數列{b_n}分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和即可找到

Sn+1

Sn

的值；

解答：解：（Ⅰ）由題得：a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1）  ①，
a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）       ②，
兩式相減，得a_n=4n-1（n≥2）
又

1

a1

=

1

2×1+1

，解得a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1（n∈N⁺）．
（Ⅱ）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=

an+1

2n+3

=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即c_n+1＞c_n．
（Ⅲ）∵bn=tan=t4n-1(t＞0)，
∴S_n=b₁+b₂++b_n=t³+t⁷++t^4n-1，
當t=1時，S_n=n，

Sn+1

Sn

=

n+1

n

；
當t＞0且t≠1時，Sn=

t3(1-t4n)

1-t4

，

Sn+1

Sn

=

1-t4n+4

1-t4n

．
綜上得，

Sn+1

Sn

=

n+1 n ，t=1 1-t4n+4 1-t4n ，t＞0，t≠1

點評：本題在利用新定義的條件下考查數列的通項公式以及求和公式，還有利用函數的單調性判斷函數值的符號．是一道綜合性很強的好題．