【題目】已知函數
.
（1）證明：函數
在其定義域上是單調遞增函數.
（2）設
，當
時，不等式
恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）先對函數求導，得到
，令
，再由導數方法研究
單調性，求出最小值即可；
（2）先將當
時，不等式
恒成立，化為
恒成立，令
，
，用導數方法研究其單調性，再記
，得到
單調性，進而可得出結果.
（1）證明：因為
，
，所以.
令，則
.
當
時，
；當
時，
，
則在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增.
故
，
從而
在
上恒成立，
即
在上單調遞增.
（2）解：當時，不等式恒成立等價于當時，不等式
恒成立，即當時，恒成立.
記，，則
，
.
因為當
時，
，所以
在
恒成立，
即
在上單調遞減.
因為當時，
，所以
在恒成立，
即
在上單調遞減.
記，因為
，所以在上單調遞減，所以
.
因為在上恒成立，所以
，即
.
又，故
的取值范圍為
.
步步高達標卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
與
軸交于點
,直線
與拋物線
交于點
，
兩點．直線
,
分別交橢圓
于點
、
（,與不重合）
(1)求證：
；
(2)若
,求直線
的斜率
的值；
(3)若
為坐標原點,直線
交橢圓
于
，
，若
,且
,則
是否為定值？若是,求出定值；若不是,請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電子商務平臺的管理員隨機抽取了1000位上網購物者，并對其年齡（在10歲到69歲之間）進行了調查，統計情況如下表所示.
年齡 |
|
|
|
|
|
|
人數 | 100 | 150 |
| 200 |
| 50 |
已知
，
，
三個年齡段的上網購物的人數依次構成遞減的等比數列.
（1）求
的值；
（2）若將年齡在
內的上網購物者定義為“消費主力軍”，其他年齡段內的上網購物者定義為“消費潛力軍”.現采用分層抽樣的方式從參與調查的1000位上網購物者中抽取5人，再從這5人中抽取2人，求這2人中至少有一人是消費潛力軍的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中， 
是正方形， 
平面
． 
， 
， 
， 
分別是 
， 
， 
的中點．
（1）求證：平面
平面
．
（2）在線段
上確定一點
，使
平面
，并給出證明．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發了社會的廣泛關注，受到了觀眾的普遍好評.假設男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為
，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為
.某機構就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾（其中2男2女）.
（1）求這4名觀眾中女性認為好看的人數比男性認為好看的人數多的概率；
（2）設
表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數，求的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（2017高考新課標Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以橢圓
的離心率為
，以其四個頂點為頂點的四邊形的面積等于
．
1
求橢圓
的標準方程；
2過原點且斜率不為0的直線
與橢圓交于
兩點，
是橢圓的右頂點，直線
分別與
軸交于點
，問：以
為直徑的圓是否恒過
軸上的定點？若恒過軸上的定點，請求出該定點的坐標；若不恒過軸上的定點，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,
是圓錐
的底面
的直徑,
是圓上異于
的任意一點,以
為直徑的圓與
的另一個交點為
為
的中點.現給出以下結論：
①
為直角三角形
②平面
平面
③平面
必與圓錐的某條母線平行
其中正確結論的個數是
A. 0B. 1C. 2D. 3
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