Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為直角梯形，其中，，，，，，點在棱上且，點為棱的中點.

在棱上且，點位棱的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】分析：第一問結合面面垂直的判定定理，尋找圖中的垂直的條件，最后歸結為線線垂直，在證明線線垂直時，勾股定理也是一個不錯的方法，再者就是對二面角的余弦值的求解過程中，利用空間向量來解決，注意對法向量的方向進行分析得出其補角還是其本身是二面角，從而確定是其本身還是其相反數.

詳解：（1）在中，由，得，

同理在中，由，得，

所以，即（亦可通過勾股定理來證明）

在中，

在，

所以，即

（2）由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標原點，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系，得：

，，，，，

，，

設平面的法向量為

則：

不妨設，則

設平面的法向量為

則，

不妨設，則

記二面角為（應為鈍角）

故二面角的余弦值為.