設函數
定義在
上，對于任意實數
，恒有
，且當
時，
（1）求證：
且當
時，
（2）求證：
在上是減函數；
（3）設集合
，
，且
，
求實數
的取值范圍。
（1）見解析；（2）見解析；（3）
【解析】（Ⅰ）在證明f(0)=1及x<0,f(x)>1時，要注意利用f(m+n)=f(m)f(n)，根據題目的要求，靈活賦值求證。(II)要注意利用定義。（3）根據前兩問的結論，可知
,拋物線
與直線y=a沒有交點求實數a的范圍。進而轉化為求二次函數的最值問題。
（1）證明：
，
為任意實數，
取
，則有
當
時，
，
，
……1分
當時，
，則
取 
則
則 
……4分
（2）證明：由（1）及題設可知，在
上
，
…………6分
所以
在上是減函數…………9分
（3）解：在集合
中
由已知條件，有
，即
………11分
在集合
中，有
，則拋物線
與直線
無交點
，
，
即
的取值范圍是…………14分
第1卷單元月考期中期末系列答案科目：高中數學 來源：2011-2012學年吉林省長春市高三第一次調研測試理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
設
是定義在
上的增函數，且對于任意的
都有
恒成立. 如果實數
滿足不等式組
，那么
的取值范圍是
A.(3, 7) B.(9, 25) C.(13, 49) D. (9, 49)
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科目：高中數學 來源：遼寧省10-11學年高二下學期期末考試數學（理） 題型：解答題
(本小題滿分12分)（1）對于定義在
上的函數
，滿足
，求證：函數
在上是減函數；
（2）請你認真研讀（1）中命題并聯系以下命題：若是定義在
上的可導函數，滿足
，則
是上的減函數。然后填空建立一個普遍化的命題：
設是定義在上的可導函數，
，若 
+
，
則
是上的減函數。
注：命題的普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合。
（3）證明（2）中建立的普遍化命題。
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定義在
上，對于任意實數
，恒有
，且當
時，
且當
時，
在
，
，
， 求實數
的取值范圍。
定義在
上，對于任意實數
，恒有
，且當
時，
且當
時，
在
，
，且
， 求實數
的取值范圍。