Question

已知拋物線y^２=-x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點.

(1)求證:OA⊥OB；

(2)當△OAB的面積等于時，求k的值.

Answer 1

(1)證明:如下圖，由方程組消去x，并整理得ky^２+y-k=0.

設A(x_１，y_１），Ｂ（x_２，y_２)，由韋達定理y₁·y_２=-1.

∵A、B在拋物線y₂=-x上，

∴y_１^２=-x₁,y_２^２=-x_２，y_１^２·y_２^２=x_１x_２．

∵k_ＯＡ·k_ＯＢ==-1,

∴OA⊥OB.

(2)解:設直線與x軸交于N，又顯然k≠0，

∴令y=0,則x=-1，即N(-1,0).

∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN

=|ON||y₁|+|ON||y₂|

=|ON|·|y₁-y₂|，

∴S_△OAB=·1·.

∵S_△OAB=，∴=.

解之,得k=±.