Question

已知函數f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（I）設a=-1，求函數f（x）的極值；
（II）在（I）的條件下，若函數g(x)=

1

3

x3+x2f′(x)+m]（其中f'（x）為f（x）的導數）在區間（1，3）上不是單調函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數的導函數f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函數的單調增區間，解不等式f′（x）＜0得函數的單調減區間，最后由極值定義求得函數極值
（II）構造新函數g（x），把在區間（1，3）上不是單調函數，即函數g（x）的導函數在區間（1，3）不能恒為正或恒為負，從而轉化為求導函數的函數值問題，利用導數列出不等式，最后解不等式求得實數m的取值范圍

解答：解：（Ⅰ）當a=-1，f（x）=-lnx+2x+3（x＞0），f′(x)=

-1

x

+2，…（2分）
∴f（x）的單調遞減區間為（0，

1

2

），單調遞增區間為（

1

2

，+∞）    …（4分），
∴f（x）的極小值是f(

1

2

)=-ln

1

2

+2×

1

2

+3=ln2+4．…（6分）
（Ⅱ）g(x)=

1

3

x3+x2(-

1

x

+2+m)，g′（x）=x²+（4+2m）x-1，…（8分）
∴g（x）在區間（1，3）上不是單調函數，
且g′（0）=-1，
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

 …（10分）
∴

4+2m＜0 20+6m＞0

 即：-

10

3

＜m＜-2．
故m的取值范圍(-

10

3

，-2)…（12分）

點評：本題考查了函數的定義域、單調性、極值，以及導數在其中的應用，由不等式恒成立問題與最值問題求解參數的取值范圍的方法