Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2

2

，AD=

2

，E為CD的中點(diǎn)．將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D-ABCE．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BDE；
（Ⅱ） 求CD與平面ADE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)翻折問題，在翻折前后在同一個平面上的位置關(guān)系及度量關(guān)系不變得到BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE且交線為AE
根據(jù)平面垂直的性質(zhì)定理得到BE⊥AD，再根據(jù)直線與平面垂直的判斷定理得證．
（II）在平面ABCE內(nèi)作CF⊥平面ADE交直線AE于F，連DF，根據(jù)平面垂直的性質(zhì)定理得到CF⊥平面ADE，根據(jù)直線與平面所成角的定義得到∠CDF就是CD與平面ADE所成的角，通過解三角形求出CD與平面ADE所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ） 由題知：BE⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE且交線為AE
∴BE⊥平面ADE
∴BE⊥AD
又∵AD⊥DE，且DE∩BE=E
∴AD⊥平面BDE
（Ⅱ）在平面ABCE內(nèi)作CF⊥平面ADE交直線AE于F，連DF，
∵平面ADE⊥平面ABCE且交線為AE
∴CF⊥平面ADE
∴∠CDF就是CD與平面ADE所成的角
由題易求CF=1，DF=5，則
tan∠CDF=

1

5

點(diǎn)評：求線面角的大小，一般先作出線面角．此題是利用線面角的定義作出，通過解三角形求出值．其解題過程為：簡記為“作、證、算”．解決翻折問題，一般先根據(jù)在翻折前后仍在同一個平面上的位置關(guān)系及度量關(guān)系不變得到空間圖形的已知條件．