Question

雙曲線兩漸近線方程是3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一準線方程為5y+4=0，求這個雙曲線的方程．（12分）

Answer 1

分析：先由兩漸近線聯立方程求得雙曲線的中心，再平移坐標軸，將原點移到O′（2，1），則可得到原坐標與新坐標之間的關系，進而得到在新坐標系下雙曲線的漸進性方程和準線方程，設實半軸為a，虛半軸為b，進而求得a和b，得到雙曲線方程，再把方程平移到原坐標系中即可．

解答：解：由方程組：3x-4y-2=0，3x+4y-10=0，
解得中心O′（2，1）．平移坐標軸，將原點移到O′（2，1），
則原坐標與新坐標之間的關系為：x=x′+2，y=y′+1．
在新坐標系x′o′y′下，雙曲線的漸近線為x′=-

4

3

y′，
一準線方程是y′=-

9

5

．
設實半軸為a，虛半軸為b，
則

b

a

=

4

3

，

a2

a2+b2

=

9

5

，
解得a=3，b=4，
∴雙曲線在新坐標系下的方程是

y2

9

-

x2

16

=1，
故原坐標系下，所求曲線方程為

(y-1)2

9

-

(x-2)2

16

=1．

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．當雙曲線的中心不在原點時，必須先把坐標原點平移到雙曲線中心．