Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+ax+b（a，b∈R）在x=2處取得極小值-

4

3

．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據題意，結合導數的性質可得函數f（x）滿足f′（2）=0且f（2）=-

4

3

，由此建立關于a、b的方程組，解出a、b的值即可得到函數f（x）的解析式．
（II）由（I）可得f′（x）=x²-4=0的兩個根x₁=-2，x₂=2．由此將區間[-4，3]分為3個部分，結合表格可得函數在[-4，3]上的3個單調區間，比較區間端點的函數值和函數的極大、極小值，即可得到f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

解答：解：（I）對f（x）求導函數，可得f′（x）=x²+a
∵函數在x=2處取得極小值-

4

3

，∴f′（2）=0，f（2）=-

4

3

可得4+a=0且

8

3

+2a+b=-

4

3

，解之得a=-4，b=4
∴可得f（x）=

1

3

x³-4x+4．
（II）由（I）得f′（x）=x²-4
解方程f′（x）=0，得x=2或-2
由此列出如下表格：
根據表格，可得函數f（x）在[-4，3]上的最大值為f（-2）=

28

3

，最小值為-

4

3

．

點評：本題給出三次多項式函數，求函數的解析式并討論函數在[-4，3]上的最大值和最小值．著重考查了利用導數研究函數的單調性和函數最值的求法等知識，屬于中檔題．