Question

求證：兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一平面內．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路解析：四條直線兩兩相交且不共點，有兩種情況：一是有三條直線共點；二是任意三條直線不共點，故而證明要分兩種情況．

　　(1)如上圖所示，已知d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a、b、c相交于點O．

　　求證：a、b、c、d四線共面．

　　證明：∵d∩a＝P，

　　∴過d、a確定一個平面α(推論2)．

　　同理過d、b和d、c各確定一個平面β、γ．

　　∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．

　　∴平面α、β、γ都經過直線d和d外一點O．

　　∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d四線共面．

　　(2)如下圖所示，已知d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，

　　a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且無三線共點．

　　求證：a、b、c、d四線共面．

　　證明：∵d∩a＝P，∴d和a確定一個平面α(推論2)．

　　∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．

　　∴MQα即bα．同理cα．∴a、b、c、d四線共面．

　　方法歸納：通過本題不難看出，證明點或直線共面通常有兩種思路：①先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合，如本題之(1)；②先由部分元素確定一個平面，再證明其余元素在這個平面內，如本題之(2)．