Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30。，斜邊AC上的中線BD=2，現沿BD將△BCD折起成三棱錐C-ABD，已知G是線段BD的中點，E，F分別是CG，AG的中點．

（1）求證：EF／／平面ABC；

（2）三棱錐C—ABD中，若棱AC=，求三棱錐A一BCD的體積．

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以平面圖形的翻折為幾何背景，考查三棱錐中的線線平行、線面平行、線面垂直以及三棱錐的體積等數學知識，考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力.第一問，由題意得EF//AC，利用線面平行的判定得線面平行；第二問，在中，利用余弦定理可以求出AG的邊長，在中，利用三個邊長的關系，可判斷出，所以利用線面垂直的判定可以得到平面ABD，所以CG是錐體的高，利用等體積法將轉化為，從而求出錐體的體積.

試題解析：(1) 證明：⑴ EF是的中位線EF//AC 3分

又AC平面ABC EF平面ABC

EF//平面ABC 6分

⑵在中，，由余弦定理得：

， 8分

而

即CGAG，又CGBD 平面ABD 10分

12分

考點：1.線面平行的判定；2.線面垂直的判定；3.余弦定理；4.等體積法.