Question

5．若f'（x）是f（x）的導函數，f'（x）＞2f（x）（x∈R），f（${\frac{1}{2}}$）=e，則f（lnx）＜x²的解集為（0，$\sqrt{e}$]．

Answer 1

分析 由題意可構造新函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，判斷g（x）的單調性為R上增函數，所求不等式可轉化$\frac{f（lnx）}{{e}^{2lnx}}$＜1．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，g'（x）=$\frac{f'（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}$＞0；
∴g（x）在R上是增函數，又e^2lnx=x²；
∴g（$\frac{1}{2}$）=1；
所求不等式?$\frac{f（lnx）}{{e}^{2lnx}}$＜1?g（lnx）＜g（$\frac{1}{2}$），lnx＜$\frac{1}{2}$；
故可解得：x∈（0，$\sqrt{e}$]．
故答案為：（0，$\sqrt{e}$]

點評 本題主要考查了構造新函數，判斷函數的單調性以及轉化思想應用，屬中等題．