Question

已知g（x）=1-x，f[g（x）]=2-x²，
（1）求f（x）的解析式；
（2）h（x）=

f(x)-1

x2

-a，若h（x）在x∈[-3，-1]上的最大值是-

5

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用換元法求函數f（x）的解析式，
（2）求出函數h（x）的表達式，利用分式函數的單調性建立方程，即可求出a的值．

解答：解：（1）設t=g（x）=1-x，則x=1-t，
∴f[g（x）]=2-x²，等價為f（t）=2-（1-t）²=-t²+2t+1，
∴f（x）=-x²+2x+1．
（2）∵h（x）=

f(x)-1

x2

-a，
∴h（x）=

f(x)-1

x2

-a=

-x2+2x+1-1

x2

-a=

-x2+2x

x2

-a=

2

x

-a-1，
∵h（x）=

2

x

-1-a在x∈[-3，-1]單調遞減，
∴當x=-3時，函數h（x）取得最大值h（-3）=-

2

3

-a-1=-

5

3

-a=-

5

3

，
即a=0．

點評：本題主要考查利用換元法求函數的解析式，以及分式函數的單調性的應用，比較基礎．