Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）
（1）求MN的長(zhǎng)；
（2）a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小；
（3）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成二面角α的大小．

Answer 1

分析：（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，易證MNQP是平行四邊形，根據(jù)MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

即可求出MN的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)（1）將MN 關(guān)于a的函數(shù)進(jìn)行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值時(shí)a的取值；
（3）取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠AGB即為二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值，結(jié)合圖形可二面角與之互補(bǔ)．

解答：解（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形．
∴MN=PQ
由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1
∴AC=BF=

2

，CP=BQ=

2

2

a
MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=
=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

(0＜a＜

2

)
（2）由（1）
MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=
=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

(0＜a＜

2

)
所以，當(dāng)時(shí)，MN=

2

2

即當(dāng)M、N分別為AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為

2

2

（3）取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G為的中點(diǎn)
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即為二面角的平面角α
又AG=BG=

6

4

，所以，由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

故所求二面角為：α=π-arccos

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)性技巧性都很強(qiáng)．