Question

已知α，β為銳角且α+β＞

π

2

，x∈R，f(x)=(

cosα

sinβ

)|x|+(

cosβ

sinα

)|x|，下列說法正確的是（　　）

A．f（x）在定義域上為遞增函數

B．f（x）在定義域上為遞減函數

C．f（x）在（-∞，0]上為增函數，在（0，+∞）上為減函數

D．f（x）在（-∞，0]上為減函數，在（0，+∞）上為增函數

Answer 1

分析：先利用α，β為銳角且α+β＞

π

2

結合三角函數的單調性得出

cosα

sinβ

，

cosβ

sinα

的取值范圍，再對x的值分類討論，結合指數函數的單調性即可得出答案．

解答：解：∵α，β為銳角且α+β＞

π

2

，∴

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
∴cosα＜cos（

π

2

-β），sinα＞sin（

π

2

-β），
即0＜cosα＜sinβ，sinα＞cosβ＞0，
∴0＜

cosα

sinβ

＜1，0＜

cosβ

sinα

＜1．
∴在（-∞，0]上，f(x)=(

cosα

sinβ

)-x+(

cosβ

sinα

)-x為增函數，
在（0，+∞）上，f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x為減函數．
故選C．

點評：本題主要考查了指數函數的單調性與特殊點，考查了三角函數的性質，屬于基礎題．