Question

（本題滿分14分）如圖，在三棱柱中，

每個側面均為正方形，為底邊的中點，為側棱的中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

 

解法一：證明：（Ⅰ）設的交點為O,連接，連接.

因為為的中點，為的中點,

所以 ∥且.又是中點，

所以 ∥且,

所以 ∥且.

所以，四邊形為平行四邊形.所以∥.

又平面,平面,則∥平面.   ………………5分

(Ⅱ) 因為三棱柱各側面都是正方形，所以，.

所以平面.

因為平面，所以.

由已知得，所以,

所以平面.

由（Ⅰ）可知∥，所以平面.

所以.

因為側面是正方形，所以.

又，平面，平面,

所以平面.                ………………………………………10分

（Ⅲ）解: 取中點，連接. 

在三棱柱中，因為平面，    

所以側面底面.

因為底面是正三角形，且是中點，

所以，所以側面.

所以是在平面上的射影.

所以是與平面所成角.

.            …………………………………………14分

解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系.

設邊長為2，可求得，,

，，，，

，，.

（Ⅰ）易得，，

.  所以， 所以∥.

又平面,平面,則∥平面.  ………………5分

（Ⅱ）易得，，，

所以.

所以

又因為，，

所以平面.            …………………………………………… 10分

（Ⅲ）設側面的法向量為,

因為, ,，，

所以，.

由  得解得

不妨令，設直線與平面所成角為．

所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為． ………………………14分

 

【解析】略