Question

【題目】回答下列兩個問題, 并給出例子或證明.

(1)對任意正整數(shù), 在平面上是否都存在個不在同一條直線上的點, 使得任意兩點間的距離都為正整數(shù)?

(2)在平面上是否存在兩兩不同的無限點列組成的點集, 使得內(nèi)所有點不在同一條直線上, 且內(nèi)任意兩點間的距離為正整數(shù)?

Answer 1

【答案】（1）存在.（2）不存在

【解析】

（1）存在.

對于任意的（），取互不相同的個質(zhì)數(shù).

令，

顯然，.

令，

于是，.

在軸上取點，在軸上取點，

易知，這個點，不在同一條直線上，且

為整數(shù).

故為整數(shù).

（2）不存在.

若不然, 假設(shè)存在不共線的無限點列組成的點集,且內(nèi)任意兩點間的距離都為正整數(shù).取不共線的三點∈, 注意到,到之間的整數(shù)值.

而一到之間的整數(shù)值總共只有有限個,

由雙曲線定義可知, 內(nèi)除去三點的其余無限多個點必在以點A 和點B 為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上, 稱它們?yōu)?/span>AB 族雙曲線.

同理, 內(nèi)除去三點的其余無限多個點必在以點B 和點C 為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上, 稱它們?yōu)?/span>BC族雙曲線.

由于三點不共線, 故兩族雙曲線的交點顯然只有有限個.

然而,內(nèi)除去三點的其余無限多個點中的每個點既在AB 族雙曲線上,

又在BC 族雙曲線上,從而, 必在兩族雙曲線的交點上.而兩族雙曲線的交點個數(shù)有限, 矛盾.