Question

某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個噴頭向外噴水．連噴頭在內，柱高0.8m．水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖（1）所示．

根據設計圖紙已知：如圖（2）中所示直角坐標系中，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系式是 ．
（1）噴出的水流距水面的最大高度是多少？
（2）如果不計其他因素，那么水池半徑至少為多少時，才能使噴出的水流都落在水池內？
（3）若水流噴出的拋物線形狀與（2）相同，噴頭距水面0.35米，水池的面積為12.25π平方米，要使水流最遠落點恰好落到水池邊緣，此時水流最大高度達到多少米？

Answer 1

【答案】分析：（1）本題是二次函數在實際問題中的運用，y表示水流噴出的高度，x表示水平距離，是二次函數關系，可以利用二次函數的性質解題．
（2）欲使噴出的水流都落在水池內，即（1）中x至少為何值時，y＞0，根據方程與不等式間的關系，先解方程y=0即可得出x的值；
（3）在求另外一個二次函數關系式時，確定函數關系式要充分運用條件“水流噴出的拋物線形狀與圖（2）相同，噴頭距水面0.35米”，求解析式．
解答：解：（1）y=-x²+2x+=-（x-1）²+1.8
答：噴出的水流距水面的最大高度為1.8米
（2）當y=0時-x²+2x+=0，
即（x-1）²=1.8，
解得x₁=1+，x₂=1-＜0（舍去）
答：水池半徑至少為（1+）米．
（3）根據S=πr²，得12.25π=πr²，
∴r=3.5m
設拋物線解析式為y=-x²+bx+0.35（0≤x≤3.5）
把x=3.5，y=0代入，
得0=-3.5²+3.5b+0.35
解得b=3.4
∴y=-x²+3.4x+0.35，
即當x=1.7時，y_最大=3.24
答：水流最大高度為3.24米．
點評：本題考查二次函數的實際應用，根據實際問題求二次函數，再運用二次函數求最大值．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．