Question

已知函數．

（Ⅰ）判斷函數的奇偶性；  （Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數的定義域為{且}      ………………… 1分

∴為偶函數                                       ………………… 3分

（Ⅱ）當時， ………………… 4分

若，則，遞減；  

若，   則，遞增．                ………………… 6分

再由是偶函數，得的遞增區間是和；

遞減區間是和．                     ………………… 8分

（Ⅲ）方法一：要使方程有實數解，即要使函數的圖像與直線有交點． 函數的圖象如圖．…………………    9分

先求當直線與的圖象相切時的值．

當時， 設切點為，則切線方程為

，將代入，得

即   （*）                      

顯然，滿足（*）

而當時，，當  時，

∴（*）有唯一解       此時

再由對稱性，時，也與的圖象相切，………………… 13分

∴若方程有實數解，則實數的取值范圍是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

方法二：

由，得：             …………………  9分

令

當，       …………………10分

顯然     時，，

時，，

∴時，                 …………………  12分 

又，為奇函數

∴時，

∴的值域為（－∞，－1]∪[1，＋∞）       ………………… 13分

∴若方程有實數解，則實數的取值范圍是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

【解析】略