Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數f（x）的導數，f″（x）是函數f′（x）的導數，f″（x）是函數f（x）的導數，此時，稱f″（x）為原函數f（x）的二階導數．若二階導數所對應的方程f''（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．
設三次函數f（x）=2x³-3x²-24x+12請你根據上面探究結果，解答以下問題：
①函數f（x）=2x³-3x²-24x+12的對稱中心坐標為

(

1

2

，-

1

2

)

；
②計算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)+f(

2013

2013

)=

-1019

．

Answer 1

分析：①求出所給函數的二階導數，由二階導數等于0求出x的值，代入原函數求出對稱中心；
②利用對稱中心坐標得到前2012項的和，在求出f（1）的值，則答案可求．

解答：解：①由f（x）=2x³-3x²-24x+12，得f^′=6x²-6x-24，f^′′（x）=12x-6．
由f^′′（x）=12x-6=0，得x=

1

2

.f(

1

2

)=2×(

1

2

)3-3×(

1

2

)2-24×

1

2

+12=-

1

2

．
所以函數f（x）=2x³-3x²-24x+12的對稱中心坐標為(

1

2

，-

1

2

)．
故答案為(

1

2

，-

1

2

)．
②因為函數f（x）=2x³-3x²-24x+12的對稱中心坐標為(

1

2

，-

1

2

)．
所以f(

1

2013

)+f(

2012

2013

)=f(

2

2013

)+f(

2011

2013

)=…=2f(

1

2

)=2×(-

1

2

)=-1．
由f(

2013

2013

)=f(1)=-13．
所以f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)+f(

2013

2013

)=-1006-13=-1019．
故答案為-1019．

點評：本題考查了簡單的演繹推理，是新定義題，解答的關鍵是利用對稱中心求值，是中檔題．