Question

【題目】如圖，已知橢圓，左、右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，為橢圓上在第一象限內一點．

（1）若．

①求橢圓的離心率；

②求直線的斜率．

（2）若，，成等差數列，且，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）① ； ② ；（2）.

【解析】

（1）①根據得，即，可得離心率；②設的直線方程，由，得即可求得斜率；

（2）根據得離心率的范圍，根據，，成等差數列，計算化簡得，平方處理成關于離心率的函數關系，利用函數單調性求范圍.

解：（1）①因為，所以，

所以，即，所以.

②設的直線方程為，

因為，所以，

所以，則，

因為在第一象限，所以，

所以，

因為，所以，所以.

（2）設，則，因為在第一象限，所以，

，所以，

因為，，成等差數列，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以，又由已知，所以，

因為，所以，

因為，

令，所以，

，

因為，所以，

所以，所以，

因為為橢圓上在第一象限內一點，所以，所以.