Question

四棱錐P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是（　　）

• A、圓的一部分
• B、橢圓的一部分
• C、球的一部分
• D、拋物線的一部分

Answer 1

分析：以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，寫出點A，B的坐標，根據條件得出Rt△APD∽Rt△CPB，
進而得出

AP

BP

=

AD

BC

=

4

8

=

1

2

，設出點P的坐標，利用兩點間的距離公式，代入上式化簡，根據軌跡方程，即可得到結論．

解答：解：在平面PAB內，
以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．
設點P（x，y），則由題意可得 A（-3，0），B（3，0）．
∵AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴

AP

BP

=

AD

BC

=

4

8

=

1

2

．
即 BP²=4AP²，故有（x-3）²+y²=4[（x+3）²+y²]，
整理得：（x+5）²+y²=16，表示一個圓．
由于點P不能在直線AB上（否則，不能構成四棱錐），
故點P的軌跡是圓的一部分，
故選A．

點評：本題考查點軌跡方程的求法，以立體幾何為載體考查軌跡問題，綜合性強，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，同時考查了運算能力，屬于難題．