Question

已知橢圓的左右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），上頂點為M，且△MF₁F₂是等邊三角形．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點Q（4，0）的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B，設點A關于x軸的對稱點為A₁，求證：直線A₁B與x軸交于一個定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

解：（1）由題設知，，
∴C的方程為．
（2）直線l不垂直于x軸，
當l不垂直于y軸時，設l的方程為x=ky+4，
由，得（3k²+4）y²+24ky+36=0，
∵△＞0，∴b²＞4．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（x₁，-y₁），
，
直線，
∵x₁y₂+x₂y₁=2ky₁y₂+4（y₁+y₂）=，
∴直線即y=恒過定點（1，0）．
∴A₁B恒過定點（1，0）．
分析：（1）由題設知，，由此能求出C的方程．
（2）當l不垂直于y軸時，設l的方程為x=ky+4，由，得（3k²+4）y²+24ky+36=0，由△＞0，知b²＞4．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（x₁，-y₁），，直線x₁y₂+x₂y₁=2ky₁y₂+4（y₁+y₂）=，由此能夠證明直線A₁B恒過定點（1，0）．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．