Question

已知函數f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1．
（1）求使函數取得最大值的集合；
（2）求函數的單調減區間；
（3）指出函數的圖象可由y=sinx的圖象經過哪些變換而得到．

Answer 1

分析：（1）先對原函數化簡整理為f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

），令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，即可求出使函數取得最大值的集合；
（2）直接利用正弦函數的單調遞減區間的求法，令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即可求出函數的單調減區間；
（3）直接利用函數圖象的左加右減上加下減以及伸縮變換的規律即可得到結論．

解答：解：（1）因為f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1
=cos

x

2

+

3

sin

x

2

=2sin(

x

2

+

π

6

)，…（2分）
所以：當sin(

x

2

+

π

6

)=1時，函數取得最大值2，…（4分）
令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，得x=4kπ+

2π

3

，k∈Z，
即使函數取得最大值的集合是{x|x=4kπ+

2π

3

，k∈Z}．…（6分）
（2）令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，k∈Z，
所以；函數的單調減區間為[4kπ+

2π

3

， 4kπ+

8π

3

]，k∈Z．…（10分）
（3）將的圖象上每一點向左平移

π

6

個單位長度，再將每一點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），
再將每一點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變）．
或：將的圖象上每一點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移

π

3

個單位長度，
再將每一點的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變）．…（14分）

點評：本題主要考查三角函數的平移以及三角函數的單調區間的求法．三角函數的平移原則為左加右減上加下減．注意左右平移時，平移的是自變量本身．