Question

計算下列函數的定積分：
（1）；
（2）dx．

Answer 1

解：（1）∵cos2x=cos²x-sin²x，
∴=
==（sinx-cosx）=（sin-cos）-（sin0-cos0）=2
（2）dx=+
=（-x²-2x）+（x²+2x）=（2-0）+（6+2）=10
分析：（1）根據二倍角的余弦公式，得cos2x=cos²x-sin²x，因此將原式化為y=cosx+sinx在[0，]上的定積分值，結合積分計算公式，不難算出原式的值；
（2）函數y=|x+2|在區間[-4，-2]上表達式為y=-x-2，在區間[-2，2]上表達式為y=x+2．因此將所求積分轉化為y=-x-2在區間[-4，-2]上的積分值，加上y=x+2在區間[-2，2]上的積分值，所得的和即為原式的值．
點評：本題通過計算兩個積分式的值，考查了二倍角的三角函數、分段函數積分的處理、定積分的計算公式和運算法則等知識，屬于基礎題．