Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，設F（x）=f（x）+g（x）
（1）求F（x）的單調區間；
（2）若以y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值；
（3）若對所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出F（x），然后求出F'（x），分別求出F′（x）＞0與F′（x）＜0 求出F（x）的單調區間；
（2）利用導數的幾何意義表示出切線的斜率k，根據k≤

1

2

恒成立將a分離出來，a≥(-

1

2

x02+x0)max，即可求出a的范圍，從而得到a的最小值；
（3）根據x≥e，所以xlnx≥ax-a?a≤

xlnx

x-1

，令h(x)=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞)，根據h'（x）的符號判定h（x）的單調性，求出最小值，即可求出a的范圍．

解答：解：（1）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

a

x

(x＞0)，F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)．（2分）
因為a＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在上單調遞增；由F′（x）＜0?x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上單調遞減．（5分）
（2）F′(x)=

x-a

x2

(0＜x≤3)，k=F′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

(0＜x0≤3)恒成立，（7分）
即a≥(-

1

2

x02+x0)max，當x₀=1時取得最大值

1

2

．所以，a≥

1

2

，所以amin=

1

2

．（10分）
（3）因為x≥e，所以xlnx≥ax-a?a≤

xlnx

x-1

，令h(x)=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞)，則h′(x)=

x-lnx-1

(x-1)2

．（12分）
因為當x≥e時，(x-lnx-1)′=1-

1

x

＞0，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，
所以h′（x）＞0，所以h(x)min=h(e)=

e

e-1

，所以0＜a≤

e

e-1

．（16分）

點評：本題主要考查了函數的單調性，以及在某點處的切線問題和函數恒成立問題等有關知識，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于綜合題．