Question

有冪函數(a¹ 0)若干個，每個函數至少具有下面三條性質之一：

(1)是奇函數；(2)是(－¥ ，＋¥ )內的增函數；(3)函數的圖像經過原點．又已知同時具有性質(1)的共有15個，具有性質(2)的共有12個，具有性質(3)的共有18個．試問，這些冪函數共有幾個？其中冪指數小于零的有幾個？

Answer 1

答案：21,3
解析：

解：由冪數的性質知，在(－¥ ，＋¥ )內的增函數一定是奇函數，且圖像一定過原點． 又若一個冪函數是奇函數，且其圖像又經過原點，則這個函數一定是在(－¥ ，＋¥ )上的增函數． 設定些冪函數中分別具備性質(1)(2)(3)的函數分別構成集合A、B、C，而冪指數小于零的構成集合D，依題意得 card(A)=15，card(B)=12，card(C)=18， 又BÍ A，BÍ C，A∩CÍ B，BÍ A∩C， ∴A∩C=B． 則card(A∪B∪C)=card(A∪C)=card(A)＋card(C)－card(A∩C)=card(A)＋card(C)－card(B)=15＋18－12=21． 即共有冪函數21個． 又冪指數小于零的冪函數圖像一定不經過原點，反之亦然，故其中冪指數小于零的函數有21－18=3個．