Question

已知函數f（x）=ax²+x+1（a∈R）
（Ⅰ）若a∈（0，

1

4

]，求解關于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若方程f（x）=0至少有一個負根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據方程的判別式對a分兩種情況，分別由一元二次方程和不等式的解法，求出所求的不等式的解集；
（Ⅱ）分別考慮二次項系數a=0，a≠0，利用二次方程的根與系數關系分別檢驗方程根的存在情況，可求a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=

1

4

時，方程

1

4

x²+x+1=0的△=1-4a=0，
則不等式

1

4

x²+x+1＞0的解為：{x|x≠-2}；
當a∈（0，

1

4

]時，方程ax²+x+1=0的△=1-4a＞0，∴方程的解是x=

-1± 1-4a

2a

，
ax²+x+1＞0的解集為：{x|x＞

-1+ 1-4a

2a

或x＜

-1- 1-4a

2a

}，
綜上，不等式f（x）＞0的解集：{x|x＞

-1+ 1-4a

2a

或x＜

-1- 1-4a

2a

}，
（Ⅱ）∵方程f（x）=0至少有一個負根，
∴方程f（x）=0有一個負根或有兩個負根，
當a=0時，方程變為x+1=0，得x=-1，故符合題意；
當a≠0時，方程的兩個根設為：x₁，x₂，
則

△=1-4a≥0 x1+x2=- 1 a ＜0 x1•x2= 1 a ＞0

或

△=1-4a≥0 x1•x2= 1 a ＜0

解得，a＜0或0＜a≤

1

4

，
綜上得，a的取值范圍是：（-∞，

1

4

]．

點評：本題考查了一元二次方程和不等式的解法，及方程的根的存在情況的討論，解題中不要漏掉a=0的考慮，另外還要注意：至少有一負根對方程根的個數的要求，考查了分類討論思想．