Question

已知圓O：x²＋y²＝1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

Answer 1

解：(1)連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形，

又|PQ|＝|PA|，

所以|OP|²＝|OQ|²＋|PQ|²

＝1＋|PA|²，

所以a²＋b²＝1＋(a－2)²＋(b－1)²，

故2a＋b－3＝0.

(2)由(1)知，P在直線l：2x＋y－3＝0上，

所以|PQ|_min＝|PA|_min，為A到直線l的距離，

所以|PQ|_min＝＝.

(或由|PQ|²＝|OP|²－1＝a²＋b²－1＝a²＋9－12a＋4a²－1＝5a²－12a＋8＝5(a－1.2)²＋0.8，得|PQ|_min＝.)

(3)以P為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心P為過原點與l垂直的直線l′與l的交點P₀，所以r＝－1＝－1，

又l′：x－2y＝0，

聯立l：2x＋y－3＝0得P₀(，)．

所以所求圓的方程為(x－)²＋(y－)²＝(－1)².