Question

【題目】已知橢圓 的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，定義：△F1BF2為橢圓C的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點 是橢圓 的一個焦點，且C1上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4．
（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且C2與C1的相似比為2：1，求橢圓C2的方程；
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任意一點，若點Q是直線y=nx與拋物線 異于原點的交點，證明：點Q一定在雙曲線4x2﹣4y2=1上；
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb ， 是否存在正方形ABCD，（設其面積為S），使得A、C在直線l上，B、D在曲線Cb上？若存在，求出函數S=f（b）的解析式及定義域；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓的一個焦點為 ，|PF1|+|PF2|=2a=4，

∴b2=a2﹣c2=1，則橢圓C1： ，

設C2： ，相似比為2，a2=4；b2=2，

∴橢圓C2：

（2）證明：點P（m，n）在橢圓上，則 ，設點Q（x0，y0），

， ，

∴4x02﹣4y02= ﹣ = = =1，

∴點Q在雙曲線4x2﹣4y2=1上

（3）解：橢圓C1： ，相似比為b，則橢圓Cb的方程為： ，

由題意：只需Cb上存在兩點B、D關于直線y=x+1對稱即可

設BD：y=﹣x+m，設BD中點為E（x0，y0），B（x1，y1），D（x2，y2），

，5x2﹣8mx+4m2﹣4b2=0，

△=64m2﹣16×5×（m2﹣b2）＞0，5b2＞m2，

由韋達定理知：x0= ，y0=﹣x0+m= m，

E（x0，y0）在直線y=x+1上，

則 m= +1

解得：m=﹣ ，∴b2＞ ，則b＞ ，

此時正方形的邊長為 ，

∴正方形的面積為S=f（b）=（ ）2，

丨BD丨= = ，

∴函數S=f（b）的解析式： ，定義域為

【解析】（1）由題意c= ，a=2，則b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓C1的方程，根據相似比2，a2=4；b2=2，即可求得橢圓C2的方程；（2）由題設條件知 ，設點Q（x0，y0），由題設條件能推出 ，即可求得 ，即可求得4x2﹣4y2=1；（3）橢圓C1： ，相似比為b，則橢圓Cb的方程，由題意：只需Cb上存在兩點B、D關于直線y=x+1對稱即可．設BD：y=﹣x+m，代入橢圓方程，設BD中點為E（x0，y0），然后利用根與系數的關系進行求解．