Question

已知拋物線C：y²=-2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為-3的一點到準(zhǔn)線的距離為4．
（1）求p的值；
（2）設(shè)動直線y=x+b與拋物線C相交于A、B兩點，問在直線l：y=2上是否存在與b的取值無關(guān)的定點M，使得∠AMB被直線l平分？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1） 直接利用條件得 |-3-

p

2

|=4，解得p值．
（2）令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)存在點M（a，2）滿足條件，由已知得k_AM=-K_BM，整理得y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2（y₁²+y₂²）-16a=0；把直線方程代入拋物線方程化簡，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解得a的值．

解答：解：（1）由已知得|-3-

p

2

|=4，∵p＞0，∴p=2
（2）令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)存在點M（a，2）滿足條件，由已知得k_AM=-K_BM，
 即有   

y1-2

x1-a

+

y2-2

x2-a

=0，x1=-

y12

4

，x2=-

y22

4

；
整理得y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2（y₁²+y₂²）-16a=0；
由

y=x+b y2=-4x

，得 y²+4y-4b=0，即  y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4b，
有-4b•（-4）+4a（-4）-2[（-4）²+8b]-16a=0，∴a=-1，
因此存在點M（-1，2）滿足題意．

點評：本題考查斜率公式，拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用．