Question

已知定義在實數集R上的函數f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導數f'（x）在R上恒有f'（x）＜2，則不等式f（2x）＜4x的解集為

{x|x＞

1

2

}

．

Answer 1

分析：由f'（x）＜2，可設g（x）=f（x）-2x，求導得g'（x）＜0，知g（x）在定義域內是減函數；又g（1）=0，根據單調性知x＞1時，g（x）＜0，即f（x）＜2x，從而得f（2x）＜4x的解集．

解答：解：設g（x）=f（x）-2x，則
g'（x）=f'（x）-2＜0，∴g（x）在定義域R內是減函數；
又g（1）=f（1）-2×1=2-2=0，
∴當x＜1時，g（x）=f（x）-2x＞g（1）=0，即：f（x）＞2x；
當x＞1時，g（x）=f（x）-2x＜g（1）=0，即：f（x）＜2x；
∴不等式f（2x）＜4x的解集為：2x＞1，即x＞

1

2

；
故答案為：{x|x＞

1

2

}．

點評：本題考查了用導數判定函數的調性的應用，并且用構造函數法來解答這個問題，屬于不容易想到的問題．