Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0),點P在橢圓上,其左、右焦點為F₁,F₂.

(1)求橢圓C的離心率.

(2)若·=,過點S的動直線l交橢圓于A,B兩點,請問在y軸上是否存在定點M,使以AB為直徑的圓恒過這個定點?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【解析】(1)因為橢圓C:+=1(a>b>0),

點P在橢圓上,

所以+=1,所以a²=2b²,

所以c²=a²-b²=b²,所以e==.

(2)因為·=,

所以·=,

所以b²-c²+=,

所以a=,b=1,

所以橢圓方程為+y²=1;

假設(shè)存在定點M,使以AB為直徑的圓恒過這個點.

當(dāng)AB⊥x軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x²+y²=1①

當(dāng)AB⊥y軸時,以AB為直徑的圓的方程為:x²+=②

由①②知定點M(0,1),

下證:以AB為直徑的圓恒過定點M(0,1).

設(shè)直線l:y=kx-,代入橢圓方程,

消去y可得(2k²+1)x²-kx-=0,

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=,

因為=(x₁,y₁-1),=(x₂,y₂-1),

所以·=x₁x₂+(y₁-1)(y₂-1)

=(1+k²)x₁x₂-k(x₁+x₂)+=0,

所以在x軸上存在定點M(0,1),使以AB為直徑的圓恒過這個定點.