Question

某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；
（Ⅲ） 從成績是70分以上（包括70分）的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率．

Answer 1

分析：（I）利用各組的頻率和等于1，求出第四組的頻率，從而求出第四組小矩形的高，作出頻率分布直方圖；
（II）計算各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和，即為數據的平均數；計算后四組的頻率和，可求及格率；
（III）分別計算后三組的人數，利用組合數公式計算從中選2人的選法數，計算這2人來自同一分數段的選法數，利用古典概型概率公式計算．

解答：解：（Ⅰ）因為各組的頻率和等于1，故第四組的頻率為1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3
頻率分布直方圖如圖：

（Ⅱ）依題意，60及以上的分數所在的第三、四、五、六組，
頻率和為 （0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽樣學生成績的合格率是75%，
利用組中值估算抽樣學生的平均分45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.3+95×0.05=71；
估計這次考試的平均分是71分；
（Ⅲ）[70，80），[80，90），[90，100]”的人數是18，15，3．所以從成績是70分以上（包括70分）的學生中選兩人，
他們在同一分數段的概率．P=

C 2 18 + C 2 15 + C 2 3

C 2 36

=

87

210

．

點評：本題考查了頻率分布直方圖，考查了古典概型的概率計算，考查了學生的作圖能力與數據處理能力，綜合性較強．