Question

如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求•的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用離心率為 得到關于a，b，c之間的關系，再結合點O到直線AB的距離為 ，即可求出a，b，c，進而得到橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）先利用EP⊥EQ把所求問題轉化為 ，再利用點P在拋物線上，利用拋物線上的點的范圍限制即可求出 的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由離心率 ，得 ∴a=2b①
∵原點O到直線AB的距離為
∴②，
將①代入②，得b²=9，∴a²=36
則橢圓C的標準方程為
（Ⅱ）因為EP⊥EQ∴
∴
設P（x，y），則 ，即
∴
∵-6≤x≤6，∴
則 的最小值為：6．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關鍵是利用條件列出關于a，b，c之間的方程．第二問重點是數量積的應用，二次函數的最值的應用，考查計算能力，轉化思想．