Question

函數f（x）=a^x-1+3（a＞0，且a≠1）的圖象過一個定點P，且點P在直線mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，則

1

m

+

4

n

的最小值是

25

．

Answer 1

分析：當x=1時，f（1）=a⁰+3=4，函數f（x）恒過定點P（1，4）．由點P在直線mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，可得m+4n=1．利用基本不等式可得

1

m

+

4

n

=(m+4n)(

1

m

+

4

n

)．

解答：解：當x=1時，f（1）=a⁰+3=4，函數f（x）恒過定點P（1，4）．
∵點P在直線mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，∴m+4n=1．
∴

1

m

+

4

n

=(m+4n)(

1

m

+

4

n

)=17+

4n

m

+

4m

n

≥17+2×4×

n m × m n

=25，當且僅當m=n=

1

5

時取等號．
∴

1

m

+

4

n

的最小值是25．
故答案為25．

點評：熟練掌握指數函數的性質、基本不等式的性質是解題的關鍵．