Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xsinx（x∈R）．
（1）證明：f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，k∈Z；
（2）設(shè)x為f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x+2kπ）-f（x）=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx，能夠證明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx．
（2）由f'（x）=Sinx+xSinx得：f'（x）=Sinx+xSinx=0，由Sin²x+cos²x=1聯(lián)立得：，由此能夠證明．
解答：解：（1）f（x+2kπ）-f（x）
=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx
=（x+2kπ）Sinx-xSinx
=xSinx+2kπSinx-xSinx
=2kπSinx…（6分）
（2）由f'（x）=sinx+xcosx，
得：f'（x）=sinx+xcosx=0…（8分）
又sin²x+cos²x=1聯(lián)立，
得：…（12分）
∴[f（x）]²=x²Sin²x==…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．