Question

已知函數f（x）=ax³+4x與g（x）=bx²+cx+8的圖象都過點P（2，0），且在點P處有相同的切線．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）+g（x），當x∈R時，求F（x）的極大值和極小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）的圖象過P（2，0），可求f（x）的解析式；利用f（x），g（x）在點P處有相同的切線，可求g（x）的解析式；
（Ⅱ）求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數的極值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的圖象過P（2，0），∴f（2）=0
∴a×2³+8=0，∴a=-1，∴f（x）=-x³+4x
∴f′（x）=-3x²+4，g′（x）=2bx+c
∴f′（2）=-8，g′（2）=4b+c
∵在點P處有相同的切線
∴4b+c=-8
∵g（2）=4b+2c+8=0
∴b=-2，c=0
∴g（x）=-2x²+8
（Ⅱ）函數F（x）=f（x）+g（x）=-x³-2x²+4x+8
∴F′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2）
令F′（x）＞0可得-2＜x＜

2

3

；令F′（x）＜0可得x＜-2或x＞

2

3

∴函數在（-∞，-2），（

2

3

，+∞）上為減函數，在（-2，

2

3

）上為增函數
∴函數在x=-2處，取得極小值為F（-2）=0；在x=

2

3

處，取得極大值為F（

2

3

）=9

13

27

點評：本題考查導函數的求法以及導數幾何意義，考查函數的極值，正確求導是關鍵．