Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三邊長a、b、c之間滿足的關系是（　　）

A．2ab＞c²

B．a²+b²＜c²

C．2bc＞a²

D．b²+c²＜a²

Answer 1

分析：由條件利用誘導公式以及兩角和與差的余弦函數公式求得cos（A+B）＞0，可得A+B＜

π

2

，C＞

π

2

，故△ABC形狀
一定是鈍角三角形，從而得到a²+b²＜c² ，由此得出結論．

解答：解：在△ABC中，由cos（2B+C）+2sinAsinB＜0可得，cos（B+B+C）+2sinAsinB＜0．
∴cosBcos（B+C）-sinBsin（B+C）+2sinAsinB＜0，即 cosBcos（π-A）-sinBsin（π-A）+2sinAsinB＜0．
∴-cosBcosA-sinBsinA+2sinAsinB＜0，-cosBcosA+sinBsinA＜0．
即-cos（A+B）＜0，cos（A+B）＞0．
∴A+B＜

π

2

，∴C＞

π

2

，故△ABC形狀一定是鈍角三角形，故有 a²+b²＜c² ．
故選 B．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，以及誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．