Question

設函數f（x）=

ex

a

+

a

ex

，（e為無理數，且e≈2.71828…）是R上的偶函數且a＞0．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的偶函數，可得f（-1）=f（1），即

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，化簡得 

1

e

(

1

a

-a)=e（

1

a

-a），故有

1

a

-a=0，a²=1．再由a＞0求得a的值．
（2）由f（x）=e^x+e^-x，可得函數f（x）的導數f′（x）=e^x-

1

ex

，根據當x＞0時，e^x＞1，可得f′（x）＞0，從而得到f（x）在（0，+∞）上為增函數．

解答：解　（1）∵f（x）是R上的偶函數，∴f（-1）=f（1），∴

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即  

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即

1

ae

-

a

e

=

e

a

-ae．
∴

1

e

(

1

a

-a)=e（

1

a

-a），∴

1

a

-a=0，∴a²=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）由上可得f（x）=e^x+e^-x．
由于函數f（x）的導數f′（x）=e^x-

1

ex

，當x＞0時，e^x＞1，∴f′（x）=e^x-

1

ex

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，利用導數判斷函數的單調性，屬于中檔題．