Question

過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD，設PA=AB=a，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．

Answer 1

解：如圖，考慮與平面PAB和平面PCD同時相交的第三平面ABCD，
其交線為AB和CD，而AB∥CD，
則平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必與AB，CD平行．
在平面PAB內，過點P作PQ∥AB，
則PQ為平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，
然后可證得，PA⊥PQ，PD⊥PQ，
∠APD為所求角，在Rt△APD中可求得，∠APD=45°．
分析：根據二面角的平面角的定義可知在平面PAB內，過點P作PQ∥AB，則PQ為平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，然后可證得，PA⊥PQ，PD⊥PQ，則∠APD為所求角，在Rt△APD中可求得此角即可．
點評：本題中兩平面與第三平面分別有一條相交直線，這兩條直線平行，由線面平行的判定和性質知，兩條直線必與兩平面的交線平行，由此可作出棱，從而找出二面角的平面角．本題也可補形化得正方體，利用定義，找出二面角的平面角．