Question

如下圖所示,一海島駐扎一支部隊,海島離岸邊最近點B的距離是150 km.在岸邊距點B 300 km的點A處有一軍需品倉庫.有一批軍需品要盡快送達海島.A與B之間有一鐵路,現用海陸聯運方式運送.火車時速為50 km,船時速為30 km,試在岸邊選一點C,先將軍需品用火車送到點C,再用輪船從點C運到海島.問點C選在何處可使運輸時間最短?

Answer 1

分析：本題考查利用導數求函數的最值問題及分析問題、解決問題的能力.解題的關鍵是建立目標函數.

解：設點C與點B的距離為x km,則運輸時間

,0≤x≤300.  

因為

所以    

令T′(x)=0,則有5x-3=0,

5x=3,25x²=9(150²+x²).

解此方程,得.           

舍去負值,取x=x₀=112.5.

因為T(0)==11,T(300)≈11.2,

T(112.5)==10,   

又因為在區間［0,300］內,10是11,11.2和10中的最小者,因此,x=x₀=112.5是最小值點.

即所選點C在與點B的距離為112.5 km處運輸時間最省.