Question

設數列的前項和為，且.
（1）求
（2）求證：數列是等比數列；
（3）求數列的前項和.

Answer 1

（1）a₁="3" a₂="8" a₃=18（2）見解析（3）T_n=(5n-5)·2ⁿ+5-2×

（1）令n=1,2,3，根據求出
(2)根據，得到,兩式相減可得
,所以,問題到此基本得以解決.
(3)在（2）的基礎上，求出的通項公式,再根據通項公式的特點選用合適的數列求和的方法求和即可.
解：(1)由題意，當n=1時，得2a₁=a₁+3,解得a₁=3
當n=2時，得2a₂=(a₁+a₂)+5,解得a₂="8"
當n=3時，得2a₃=(a₁+a₂+a₃)+7,解得a₃="18"
所以a₁=3,a₂=8,a₃=18為所求.·························· 3分
(2)因為2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立
兩式相減得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2
所以a_n+1=2a_n+2(nN^*)，即a_n+1+2=2(a_n+2)
所以數列{a_n+2}是以a₁+2=5為首項，公比為2的等比數列·············· 7分
(3)由(2)得：a_n+2=5×2^n-1,即a_n=5×2^n-1-2(nN^*)
則na_n=5n·2^n-1-2n(nN^*)··························· 8分
設數列{5n·2^n-1}的前n項和為P_n,
則P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×(n-1)·2^n-2+5×n·2^n-1,········· 10分
所以2P_n=5×2×2¹+5×3×2²+5×3×2³+…+5(n-1)·2^n-1+5×n·2ⁿ,
所以-P_n=5(1+2¹+2²+…+2^n-1)-5n·2ⁿ,
即P_n=(5n-5)·2ⁿ+5(nN^*)·························· 12分
所以數列{n·a_n}的前n項和T_n=(5n-5)·2ⁿ+5-2×,
整理得，T_n=(5n-5)·2ⁿ-n²-n+5(nN^*)   13分