Question

設函數f（x）=x⁴+bx²+cx+d，當x=t₁時，f（x）有極小值．
（1）若b=-6時，函數f（x）有極大值，求實數c的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若存在實數c，使函數f（x）在閉區間[m-2，m+2]上單調遞增，求m的取值范圍；
（3）若函數f（x）只有一個極值點，且存在t₂∈（t₁，t₁+1），使f′（t₂）=0，證明：函數g（x）=f（x）-x²+t₁x在區間（t₁，t₂）內最多有一個零點．

Answer 1

解：（1）因為f（x）=x⁴+bx²+cx+d，所以h（x）=f′（x）=x³-12x+c．
由題設，方程h（x）=0有三個互異的實根．
考察函數h（x）=x³-12x+c，則h′（x）=0，得x=±2．

所以故-16＜c＜16．
（2）存在c∈（-16，16），使f′（x）≥0，即x³-12x≥-c，（*）
所以x³-12x＞-16，即（x-2）²（x+4）＞0（*）在區間[m-2，m+2]上恒成立．
所以[m-2，m+2]是不等式（*）解集的子集．
所以或m-2＞2，即-2＜m＜0，或m＞4．
（3）由題設，可得存在α，β∈R，使f′（x）=x³+2bx+c=（x-t₁）（x²+αx+β），
且x²+αx+β≥0恒成立．

又f?（t₂）=0，且在x=t₂兩側同號，
所以f?（x）=（x-t₁）（x-t₂）²．
另一方面，g′（x）=x³+（2b-1）x+t₁+c
=x³+2bx+c-（x-t₁）=（x-t₁）[（x-t₂）²-1]．
因為t₁＜x＜t₂，且t₂-t₁＜1，所以-1＜t₁-t₂＜x-t₂＜0．
所以0＜（x-t₂）²＜1，所以（x-t₂）²-1＜0．
而x-t₁＞0，所以g′（x）＜0，所以g（x）在（t₁，t₂）內單調減．
從而g（x）在（t₁，t₂）內最多有一個零點．

分析：（1）利用條件得f′（x）=0有三個互異的實根，在對導函數求導，根據極值來下結論．
（2）先利用導函數求出函數f（x）的單調遞增區間，再讓閉區間[m-2，m+2]是所求區間的子集即可求m的取值范圍．
（3）函數f（x）只有一個極值點，就是在導函數為0的根左右兩側的函數值異號的根只有一個x=t₁．所以在x=t₂兩側同號，t₁＜x＜t₂，求得（x-t₂）²-1＜0推出函數g（x）在（t₁，t₂）內單調減即可得結論．
點評：本題考查利用極值求對應變量的值．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點