Question

17．已知f（x）=ax-lnx，a∈R
（1）若f（x）在x=1處有極值，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）是否存在正實數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）在x=1處有極值，確定a的值，利用導數(shù)大于0，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）分類討論，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=0，
∵f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，∴a-1=0，∴a=1，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；
∵x＞0，∴x＞1
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）假設存在實數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，
①當a≤0時，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=$\frac{4}{e}$（舍去）；
②當0＜$\frac{1}{a}$＜e時，f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞增
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，∴a=e²，滿足條件；
③當$\frac{1}{a}$≥e時，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=$\frac{4}{e}$（舍去），
綜上所述，存在實數(shù)a=e²，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．