Question

設數列S₁，S₂，…是一個嚴格遞增的正整數數列．
（1）若是該數列的其中兩項，求證：；
（2）若該數列的兩個子數列和都是等差數列，求證：這兩個子數列的公差相等；
（3）若（2）中的公差為1，求證：，并證明數列{S_n}也是等差數列．

Answer 1

解：（1）證明：由條件知：．
（2）設兩子數列的首項分別為a，b，公差分別為d₁，d₂．
∵
∴a+（k-1）d₁＜b+（k-1）d₂≤a+kd₁
即a-b＜（k-1）（d₂-d₁）≤a-b+d₁
上式左，右端皆為常數，中間的k∈N，故必須d₂-d₁=0，
∴d₁=d₂
（3）∵公差為1，∴．
又數列{S_n}是嚴格遞增的正整數數列，
∴
∴
又由（1）知∴．
故S_k+1=S_k+1（k∈N），即數列{S_n}是公差為1的等差數列．
分析：（1）由題設條件知：．
（2）設兩子數列的首項分別為a，b，公差分別為d₁，d₂．由題設知a-b＜（k-1）（d₂-d₁）≤a-b+d₁，由此可知d₁=d₂
（3）由題設知．數列{S_n}是嚴格遞增的正整數數列，所以，由此能夠導出S_k+1=S_k+1，故數列{S_n}是公差為1的等差數列．
點評：本題考查等差數列的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．