Question

已知函數(shù)。（為常數(shù)，）
（Ⅰ）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時，在上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）實數(shù)的取值范圍為

解析試題分析：（Ⅰ）函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點，先求出其導(dǎo)函數(shù)：，利用是函數(shù)的一個極值點對應(yīng)的結(jié)論，即時，它的導(dǎo)函數(shù)值為零，可令，即可求的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時，在上是增函數(shù)，由于含有對數(shù)函數(shù)，可通過求導(dǎo)來證明，因此利用：，在時，分析出因式中的每一項都大于等于0，即得，從而可證明結(jié)論；（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，在上的最大值為，把問題轉(zhuǎn)化為對任意的，不等式恒成立；然后再利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數(shù)的取值范圍為．
試題解析：
（Ⅰ）由已知，得且，
                                                     3分
（Ⅱ）當(dāng)時， 
當(dāng)時， 又   
故在上是增函數(shù)                                        6分
（Ⅲ）時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為
于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立。
記
則
當(dāng)時， 在區(qū)間上遞減，此時
由于，時不可能使恒成立，故必有

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有
，與恒成立相矛盾，故，這時，
在上遞增，恒有，滿足題設(shè)要求，