Question

已知函數f(x)=loga

x+1

x-1

．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）討論函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性，并用定義證明之．

Answer 1

分析：（1）先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，再利用奇函數定義，證明f（-x）=-f（x）即可；（2）先將函數化為復合函數形式，由于內層函數為減函數，故函數的單調性取決于外層函數的單調性，故需分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論函數的單調性，最后利用函數單調性的定義證明討論結果即可

解答：解：（1）∵f(x)=loga

x+1

x-1

，∴f（x）的定義域是{x|x＜-1或x＞1}
又f（-x）+f（x）=loga

-x+1

-x-1

+loga

x+1

x-1

=loga(

-x+1

-x-1

•

x+1

x-1

)=loga1=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數…（5分）
（2）∵f(x)=loga

x+1

x-1

=loga(1+

2

x-1

)
∴當x＞1時，f（x）有意義
∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞減
當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增
證明如下：設任意的x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＞x₂
則f(x1)-f(x2)=loga

x1+1

x1-1

-loga

x2+1

x2-1

=loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∴x₁＞x₂＞1∴x₁+1＞x₂+1＞2，x₁-1＞x₂-1＞0，x₂-x₁＜0
∴

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

-1=

(x1+1)(x2-1)-(x1-1)(x2+1)

(x1-1)(x2+1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

＜0
∴0＜

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜1
∴當a＞1時，loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
當0＜a＜1時，loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
故 當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞減；
當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增．

點評：本題考查了函數奇偶性的定義及其判斷方法，復合函數單調性的判斷方法，利用定義證明函數單調性的方法和步驟，分類討論的思想方法