Question

已知函數f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，a為常數），且是函數y=f（x）的零點．
（1）求a的值，并求函數f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，]，求函數f（x）的值域，并寫出f（x）取得最大值時x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由是函數y=f（x）的零點得到x=是方程f（x）=0的解，即f（）=0，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入
f（x）中，然后利用二倍角的余弦函數公式及兩角差的正弦函數公式和特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據T求出最小正周期即可；
（2）根據x的范圍求出2x-的范圍，根據正弦函數的圖象求出sin（2x-）的值域即可得到f（x）的值域，當f（x）有最大值時，2x-=2kπ+解出x的范圍，因為x為銳角得到k=0，即可求出x的值．
解答：解：（1）由于是函數y=f（x）的零點，即x=是方程f（x）=0的解，
從而f（）=sin+acos²=0，
則1+a=0，解得a=-2．
所以f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1，
則f（x）=sin（2x-）-1，
所以函數f（x）的最小正周期為π．

（2）由x∈[0，]，得2x-∈[-，]，
則sin（2x-）∈[-，1]，
則-1≤sin（2x-）≤，
-2≤sin（2x-）-1≤-1，
∴值域為[-2，-1]．
當2x-=2kπ+（k∈Z），
即x=kπ+π時，
f（x）有最大值，又x∈[0，]，
故k=0時，x=π，
f（x）有最大值-1．
點評：此題既考查學生掌握函數零點的意義及三角函數周期的求法，又考查學生會求正弦函數的在某一范圍內的最值以及會求正弦函數的值域．是一道綜合題．