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設
a
，
b
，
c
都是單位向量，且
a
與
b
的夾角為
2
3
π，則(
c
-
a
)•(
c
-
b
)的最小值為
-
1
2
-
1
2
．
分析：根據單位向量
a
與
b
的夾角為
2
3
π算出
a
的
b
數量積，進而得到|
a
+
b
|=1．由此結合向量數量積的運算性質得(
a
+
b
)•
c
≤|
a
+
b
|•|
c
|=1，再將展開化簡得(
c
-
a
)•(
c
-
b
)=
1
2
-(
a
+
b
)•
c
，因此可得(
c
-
a
)•(
c
-
b
)的最小值．
解答：解：∵單位向量
a
與
b
的夾角為
2
3
π，∴
a
•
b
=|
a
|•|
b
|cos
2
3
π=-
1
2

可得(
a
+
b
)2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2=1+2×（-
1
2
）+1=1
∴|
a
+
b
|=1
因此，(
a
+
b
)•
c
=|
a
+
b
|•|
c
|•cosθ≤|
a
+
b
|•|
c
|=1
∵(
c
-
a
)•(
c
-
b
)=
c
2-（
a
+
b
）•
c
+
a
•
b
=1-（
a
+
b
）•
c
+（-
1
2
）=
1
2
-(
a
+
b
)•
c

∴(
c
-
a
)•(
c
-
b
)≥
1
2
-1=-
1
2
，
當且僅當
a
+
b
與
c
共線方向相同時，(
c
-
a
)•(
c
-
b
)的最小值為-
1
2

故答案為：-
1
2
點評：本題給出3個單位向量中的兩個夾角為
2π
3
，求(
c
-
a
)•(
c
-
b
)的最小值．著重考查了平面向量數量積計算公式、模的計算公式及其運算性質等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設
a
、
b
、
c
都是單位向量，且
a
•
b
=0，則（
a
+
b
）•（
b
+
c
）的最大值為
1+
2
1+
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列命題：
①y=1是冪函數；
②函數f（x）=2x-log2x的零點有1個；
③實數a=0.2 
2
，b=log 
2
0.2，c=
2
0.2的大小關系是b＜c＜a．
④設
a
，
b
，
c
，是單位向量，且
a
•
b
=0，則（
a
-
c
）•（
b
-
c
）的最大值為1+
2
          
⑤函數y=x+
1
x-1
（x≥3）的最小值為3．
其中真命題的序號是
④
④
（把你認為正確命題的序號都填上）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設
a
、
b
、
c
都是單位向量且
a
•
b
=0，則（
a
+
b
）•（
b
+
c
）的最大值為
1+
2
1+
2
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設
a
，
b
，
c
都是單位向量，且
a
與
b
的夾角為
2
3
π，則(
c
-
a
)•(
c
-
b
)的最小值為______．

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